\section{自由电子气理论}
Free Electronic Theory of Metals

1900年，德鲁德（P. Drude）将金属中自由电子视为经典气体，解释了金属的电、热、光效应，即为“自由电子理论”。

1928年，索末菲（A. Sommerfeld）将费米-狄拉克统计应用于电子气，即为“量子自由电子理论”。

同年，布洛赫、布里渊等研究周期场中电子行为，提出了固体的“能带理论”。
\subsection{选题原因}
1、固体中原子核与电子的分布对于我们研究电磁学和固体物理起到至关重要的作用。

2、金属具有良好的导电性、导热性、延展性。

3、对金属晶体结构和物性的研究在固体物理中起到至关重要要的作用。
\subsection{Drude自由电子气模型}
1900年，特鲁德(P. Drude)首先将金属中的价电子与理想气体类比，提出了金属电子气理论。

1904年，洛伦兹(Lorenz)将麦克斯韦-玻耳兹曼统计分布规律引入电子气，据此就可用经典力学定律对金属自由电子气体模型作出定量计算。

这样就构成了特鲁德-洛仑兹自由电子气理论，称为经典自由电子理论。

在J.J.Thomson于1897年发现电子3年之后，Drude根据气体运动论建立了金属自由电子气模型，把金属中的电子看成理想气体。

作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出，现在仍然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。
\subsubsection{四点假设}
1、自由电子近似（Free electron approximation）：

忽略电子——离子的相互作用

2、独立电子近似（Independent electron approximation）：

忽略电子——电子之间的相互作用

3、碰撞假设

电子与离子实碰撞瞬间完成，忽略电子间碰撞。

电子通过碰撞处于热平衡状态。电子热平衡的获得被假定通过一个简单的途径达到，即碰撞前后的速度没有关联（电子对自己的速度历史没有记忆）。

电子热平衡分布满足Bolzmann统计 （经典统计） 。

4、弛豫时间近似

电子在dt时间所受碰撞的几率正比于$\frac{dt}{\tau},\tau$通常被称为弛豫时间（Relaxation time），相应的近似被称为弛豫时间近似（Relaxation time approximation）。

这个图像所描述的碰撞过程为：电子在某时刻受到碰撞，电子的速度瞬时被改变，然后电子的运动为自由运动，（如果存在外场，会受到外场力的作用，）电子平均自由运动$\tau$时间后再一次受到碰撞。
\subsubsection{传导电子和芯电子}
Na:      K      L      M 

1s   2s2p   3s

2       8       1

Na 蒸汽    3s  轨道半径   0.19 nm

Na 固体    最近邻原子间距   0.365 nm    
\subsubsection{凝胶模型(Jellium model)}
金属就是正离子浸没于传导电子气中的集合体。正离子和传导电子气之间的相互作用就是金属中原子的结合力。金属表面存在着一种把传导电子限制在金属范围内的势垒，而在金属内部，势能是均匀的，好像传导电子在一个均匀的势场中运动，相对势能为零。
\subsubsection{传导电子密度}
传导电子密度 n：单位体积的传导电子数

原子数/mole:  $N_0 = 6.022\cdot10^{23}$，Avogadro常数 

mole数/cm3:  $\rho_m/A,  \rho_m$是金属的质量密度（g/cm3），A是元素的原子量

\begin{align}
	n&=N_0\frac{Z\rho_m}{A}\label{FreeElectronicTheory01}
\end{align}

Z是每个原子贡献的价电子（传导电子）数目

对于金属，n的典型值为$10^{22}\sim10^{23}/cm^3$。这个值要比理想气体的密度高上千倍。

将每个电子平均占据的体积等效成球体，则：

\begin{align}
	\frac{1}{n}&=\frac{V}{N}=\frac{4\pi}{3}r_s^3\label{FreeElectronicTheory02}
\end{align}

定义电子占据体积的等效球半径：

\begin{align}
	r_s&=\left(\frac{3}{4\pi n}\right)^{\frac{1}{3}}\label{FreeElectronicTheory03}
\end{align}

$r_s$的典型值为$\sim 10^{-10}m$。
\section{量子自由电子理论}
\section{能带理论}
\subsection{布洛赫波}
在固体物理学中，布洛赫波（Bloch wave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数，又名布洛赫态（Bloch state）。

布洛赫波的概念由美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（1877年），加斯东·弗洛凯（1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（1892年）等独立地提出。因此，类似性质的概念在各个领域有着不同的名称：常微分方程理论中称为弗洛凯理论（也有人称“李雅普诺夫-弗洛凯定理”）；一维周期性波动方程则有时被称为希尔方程。
\subsection{氢原子发出21cm电波}
1951年，亦即珀塞尔获得诺贝尔奖的前一年，他的研究小组从宇宙空间的氢原子中，成功地观测到波长21厘米的微波。这是第二次世界大战中荷兰的延·沃尔特（JAN·Oort 1900－1992）等人从理论上预言的一种波，而在此之前的1927年，沃尔特认为银河系有数千亿个类似太阳的恒星；宇宙间与银河系相似的星系有数千亿个；在宇宙间类似太阳的恒星也有数千亿个×数千亿个那么多。

1944年，沃尔特小组发表论文，阐述宇宙间的氢原子理应辐射或吸收的电波波长约为21厘米，构成氢的质子和电子数百万年间才重复交换各自的自转方向一次，此时21厘米的电波会释放出来。

当时，在哈佛大学工作的珀塞尔夫人对这篇论文非常感兴趣，于是她支持丈夫搞这项研究。

1950年，美国射电天文学院研究团体成立。这一研究团体从哈佛大学的一个试验室租借许多零部件制成无线电波收发器，并持续这项研究。1951年3月，他们终于检测出21厘米波长的电波。后来荷兰和澳大利亚的研究小组也观测出21厘米的电波，当时，3国研究小组的发现报告，刊登在英国著名科学刊物《自然》杂志上。
